Родился 6 мая 1894 в Куоккале, Финляндия, в составе России. Внук итальянского композитора Цезаря Пуни, бывшего дирижером Парижской Оперы до своего переезда в Россию. Начальное образование получил в Петербурге, поддерживал связь с Парижем; в 1910 поступил а Академию Жюльена в Париже; в 1912 вернулся в Петербург; сблизился с братьями Давидом и Владимиром Бурлюками, К. С. Малевичем и другими представителями русского авангарда; вступил в "Союз молодежи". В 1913 женился на художнице Ксении Богуславской, с которой сблизился в Париже. В 1914 создал эскиз обложки футуристического альманаха «Рыкающий Парнас», субсидируемого Богуславской; в 1912—17 принимал участие в выставках «Союза молодежи» (1912-13; 1913—14), «Бубнового валета» (1917) и участвовал в организации выставок «Трамвай В» и «0,10». В 1915 к выставке «0,10» вместе с Богуславской, Малевичем, И, В. Клюном и другими выпустил листовку с изложением своего художественного кредо; в 1918 преподавал в ГСХМ в Петрограде; в 1918—29 участвовал во многих советских выставках, включая «Русский пейзаж» (1918) в Петрограде и Выставку новейших течений в искусстве (1927) в Ленинграде, в 1918—19 принимал участие в агитационном оформлении улиц и площадей Петрограда. В 1920 переехал в Берлин; оформлял детские и прочие книги, например книгу С. Рафаловича «Марк Антоний. Трагедия» (Берлин, 1923). В 1922 отверг супрематизм, отдавая предпочтение В. В. Кандинскому перед Малевичем; в этом же году участвовал в «Еrstе Russische Kunstasstellung» («Первой русской художественной выставке») в Берлине. С 1924 жил в Париже; в эмиграции был приверженцем фигуративной живописи, работал в стиле, напоминающем манеру Пьера Боннара и Эдуара Вюйяра. Пуни был весьма разносторонним художником, но, подобно Малевичу прежде всего живописцем. Даже его рельефы, относящиеся приблизительно к 1915, были скорее более полным развитием двухмерной поверхности, чем пространственной конструкцией. Это было постоянное противоречие между эмоциональными, экспрессионистическими чертами его художественного темперамента, проявившимися особенно ярко в дни «Союза молодежи», и его «vernunftiger Logik" (разумной логикой —нем.), которое побудило его резко повернуть от синтетического стиля его ранних фовистских полотен, показанных на выставках «Союза молодежи" 1912—13 и 1913—14 к аналитической концепции, отраженной в его супрематических работах 1915—16, а затем вновь вернуться к синтетическим, красочным натюрмортам 1917—19. Только с началом берлинского периода это колебание уменьшается; так, в лекции, прочитанной им в Берлине в 1922, Пуни сам счел необходимым отвергнуть свои супрематические формальные достижения, назвав их переходными и поверхностными, и заявить о своей поддержке, с одной стороны, Кандинского, с другой — Пикассо. Однако критика Пуни своих собственных абстрактных работ не отменяет их значения для развития современного искусства. «Супрематический манифест», выпущенный Пуни и Богуславской в 1915-16 к выставке «0,10», был жизненно важен для понимания беспредметного мира: их утверждение, что «картина есть новая концепция абстрагированных реальных элементов, лишенная смысла», было вместе с заявлениями Малевича того же времени одной из первых ясных деклараций самодовлеющей художественной формы. Пуни Иван Альбертович умер 26 ноября 1956 в Париже.